Rimanova hipoteza je među šest matematičkih nerešenih zadataka koje je američki Institut za matematiku “Klej” nazvao “Milenijumskim problemima” i za čije je rešavanje obećao nagradu od milion dolara. "Rešenje hipoteze bi bilo od neprocenjivog značaja, čovečanstvu bi podario najbolje informacije o rasporedu prostih brojeva, pomoć da se odgonetne koliko ima prostih brojeva manjih od bilo kog zadatog broja. Kao što, recimo, znamo da prostih brojeva manjih od 10 ima četiri (2, 3, 5, 7), jer možemo da ih prebrojimo, sad ćemo možda dobiti tu asimptotsku formulu i za beskonačno velike brojeve." ( prof. dr Stojana Radenovića,)
_______________________________________
Matematička- revolucija Bernharda Rimana
Uvek će biti aritmetičkih teorema čija tačnost ,ili netačnost , nikada neće moći da se dokaže iz aritmetičkih aksiona. Drugim rečima, aritmetika će uvek biti nepotpuna , što je jedno od najšokantnijih dostignuća u matematičkoj logici u poslednjih hiljadu godina.
Ljudi tendenciozno pamte velikane misli koji svojim sistematičnim, i naizgled skoro savršenim delima, unose sveopštu revoluciju misli u naš svet. One koji uvode nov način poimanja stvari i pojava i koji donose nove pristupe u rešavanju postojećih problema. No, njih tako savršenih ne bi ni bilo bez ljudi iza ove svetske pozornice zbivanja. Onih koji nisu dolazili u prvi plan javnosti, jer ih je njihov pionirski rad previše konzumirao i neretko dovodio do sopstvenih limita, pa i preko praga tolerancije sopstvenih umova. Do tačke pucanja i nervnih slomova koji su ih volšebno zaustavljali. Kao u slučaju sudbine Fridriha Ničea. Baš ti umovi iz senke svetske pozornice utabali su put onima koje kasnije pamtimo i svrstavamo u blistave i najveće. To je slučaj i s delom jednog Alberta Ajnšatajna, koji je posledica revolucije misli koju je načeo neko o kome se danas malo zna, a još manje govori. Čoveka koji je osetio potrebu za matematičkom revolucijom, koja se takvim intenzitetom nije desila duže od dva milenijuma.
Bernhard Riman (Georg Friedrich Bernhard Riemann) bio je nemački matematičar čiji je doprinos matematičkoj analizi, teoriji brojeva i geometriji danas gotovo nesaglediv, jer je svojim pristupima preoblikovao temelje ove nauke sveopšteg postanja i projektovao prvu, i najvažniju, stepenicu u kasnijoj izgradnji kompleksne Opšte teorije relativnosti, koja bez njegovog rada ne bi bila moguća, a koja je iz korena promenila čitavu našu civilizaciju i percpeciju sveta uvodeći ljude u novu eru nikada bržeg i sofisticiranijeg razvoja nauke i tehnike
Ključni Ajnštajnov domet bio je taj što je iskoristio četvrtu dimenziju da nastavi započeti put objedinjavanja zakona prirode, uvodeći dva nova koncepta: prostor-vreme i materiju-energiju. No obojici je falio po deo slagalice da bi kompletirali sliku sveta. Riman je svakako posedovao neophodni matematički apart, ali ne i fizički princip po kojem bi ga u potpunosti primenio. Dok se Ajnštajnov nedostatak ogledao u nedostatku strogog i dovoljno moćnog matematičkog formalizma kojim bi potvrdio fizički princip do kojeg je došao
"Grosmane, moraš mi pomoći inače ću poludeti.” – vapi Albert Ajnštajn u očajničkom pismu svom prijatelju i matematičaru Marselu Grosmanu.
matematika prostora
Pođimo redom.
Bernhard Riman je potekao iz siromašne porodice, kao sin luterijanskog pastora i majke koja je umrla pre nego što je on odrastao. Pokazivao je izuzetne mentalne sposobnosti još od rane mladosti, ali je stasao u izuzetno stidljivog i povučenog mladića čiji je kasniji život biti ispresecan višestrukim nervnim slomovima. Zbog te urođene stidljivosti i povučenosti konstantno se uzdržavao od javnog nastupa i izlaganja, iako je za to imao mnogo povoda tokom života. Zbog toga se u javnosti tog vremena verovalo da je Riman poslednja osoba od koje bi se očekivalo nešto revolucionarno, kao što je udaranje temelja nove matematike. Patio je takođe i od muka za koje je veruje da su bile česte kod mnogih umnih ljudi davnih vremena i da skoro uvek idu ruku pod ruku – siromaštvo i tuberkuloza. Obe su jedna drugom uslovljene što je dovodilo do toga da ti veliki ljudi i ne požive dovoljno duge, zdrave i u punoj meri produktivne živote. Njegov biograf je zabeležio da je krhko zdravlje i prerana smrt većine dece Rimanovih upravo bila uzrokovana neuhranjenošću.
Još jedno ime koje se jednostavno mora pomenuti, a koje je doživelo maltene istu sudbinu usled teških životnih okolnosti i koje je nazivano blistavom supernovom matematike, rasvetlivši namaračnije i najdublje kutke matematike bio je Srinivasa Ramanudžan (Srinivasa Iyengar Ramanujan). Najčudniji čovek u istoriji matematike kojeg je takođe pokosila tuberkoloza, u 32. godini života. Za života je radio potpuno izolovan od glavnih naučnih tokova, te je samostalno izveo skoro sva stogodišnja dostignuća zapadne matematike. Samo rad tokom njegove poslednje godine života često je upoređivan sa onim što bi drugi veliki matematičari postizali tokom svog čitavog radnog veka. Njegova opsesija brojem 24 dovela je do uspostavljanja Ramadudžanove funkcije i udario je temelje kasnijem naučnom stanovištu o 26-dimenzionalnom prostoru.
Često se i danas kaže da mnoge matematičke nerazjašnjene misterije imaju svoj odgovor među Ramanudžanovim izgubljenim beleškama koje broje 4000 formula na 400 gusto ispisanih stranica. Srinivasa svakako zaslužuju poseban i detaljan osvrt na svoj kratki ali život prepun uvida, na kakav se retko nailazi…
No vratimo se Rimanovom odrastanju i sazrevanju.
U svojim srednjoškolskim bio je opsednut Biblijom i njenim temeljnim proučavanjem u želji da matematički dokaže ispravnost teksta Postanja (Berešit, בראשית) u njoj. Njegov strogi analitički um je od rane mladosti neraskidivo bio povezan s matematičkim gledištem na svet i celokupni kosmos. Znanjen i tada još uvek dečačkim intelektom vrlo je lako nadmašivao svoje nastavnike, koji su često morali da ga zaokupe mnogo težim matematičkim izazovima ne bi li mu održali pažnju koja je stalno tragala za težim izazovima među brojevima i jednačinama. Tako je i dobio delo koje je na njega ostavilo snažan utisak, ”Teoriju brojeva” (Essai sur la Théorie des Nombres, 1797-8)’’ Adrijana-Marija Ležandra (Adrien-Marie Legendre), remek-delo na 859 strana, koje je u to vreme predstavljalo najnapredniji spis o složenoj teoriji brojeva. Tu knjigu Riman je progutao za nepunih nedelju dana.
Zapravo Biblija i Euklidovi ”Elementi (Stoiheia, Στοιχεῖα)” verovatno su bile dve najuticajnije knjige svih vremena. U rasponu od čitava dva milenijuma najprodorniji naučni umovi divili su se eleganciji i lepoti Euklidove geometrije. Njenim korišćenjem nastalo je na hiljade najlepših katedrala u Evropi i svetu, a sve do jedne na osnovama i principima euklidske geometrije. Samim tim, zbog sveprisutnosti u umetnosti, filozofiji, arhitekturi i slikarstvu tokom dugog vremenskog perioda, ovo delo poprimilo je gotovo religijski epitet i svako ko bi se usudio da mu se usprotivi bivao je viđen za heretika.
”Elementi (Stoiheia, Στοιχεῖα)”
Elemente” čini 13 knjiga za koje se pretpostavlja da su napisane oko 300. godine pre nove ere u Aleksandriji i spada u drugo najstarije delo drevne Grčke matematičke misli, pored dela ”O pokretnoj sferi”, Autolika iz Pitane.
”Tačka nema dimenzija. Prava ima jednu dimenziju. Ravan ima dve dimenzije: dužinu i širinu. Telo ima tri dimenzije: dužinu, širinu i visinu. I tu se priča završava. Ništa nema četiri dimenzije.” kaže Euklid.
Nakon odlaska na čuveni Univerzitet u Getingenu (Die Georg-August-Universität in Göttingen) Bernhard Riman imao je sreću i čast da upozna princa svih matematičara, Karla Fridriha Gausa (Johann Carl Friedrich Gauß), jednog od najvećih koje je svet iznedrio. Postavite li i danas: pitanje ko su tri najčuvenija matematičara u istoriji nauke svih nauka, izvesno je da ćete čuti sledeći niz imena: Arhimed, Njutn i Gaus. A onog momenta kada je Gaus od svog studenta Rimana zatražio da spremi izlaganje o osnovama geometrije, za Rimana se i definitivno desio raskid s euklidskom geometrijom jer je dobio konkretan zadatak od autoriteta kojeg nikako nije smeo da izneveri. I nije, naprotiv, zadivio ga je, kao i sve na Institutu, a kasnije i čitav naučni svet. Naravno, ovaj zadatak nije bio slučajan jer je Gaus već decenijama ranije izražavao duboku sumnju i suzdržanost spram euklidske geometrije, kao i mnogi drugi, te je osetio pravi momenat da od svog naprednog studenta zatraži mišljenje. S druge strane, postojao je još jedan razlog zašto je Riman dobio taj problem na rešavanje: Gaus je, naime, bio duboko konzervativan i nije želeo da se sam pozabavi problematikom koja bi ustalasala i razgnevila uskogrudu i veoma tradicionalno nastrojenu staru naučnu gardu.
Riman je, dakle, dobio zadatak da razbije Euklidove čini, bačene pre više od 2000 godina.
Bojažljiv i povučen kakav je bio, on se našao u velikom problemu. Ne povodom matematičke enigme pred koju je stavljen, već zato što ga je očekivao veliki javni nastup na kojem je trebalo da prezentuje svoja saznanja. Bio je prestrašen činjenicom da će morati pred čitavim personalom da održi vrlo opširno predavanje o najtežem problemu u matematici tog veka. Tako su ga pripreme i razrađivanje predložene teorije u kojoj je predstvaio i koncepte viših dimenzija dovele do velike mentalne iscrpljenosti, i na posletku do nervnog sloma. Sve se to odvijalo i u veoma teškoj materijalnoj situaciji, ali je Riman ipak pronalazio snagu i verovao da je na pravom putu otkrića jedinstva svih fizičkih zakona i da će time utrti put konačnom objedinjenju svih sila u jednu. Teoriju svega.
Toliko sam se predao istraživanju objedinjenja svih fizičkih zakona da nisam mogao da se odvojim od tog posla kada sam dobio zadatak da pripremim to predavanje. Potom sam se razboleo, delom brinući zbog toga, a delom što sam previše boravio u zatvorenim prostorijama po rđavom vremenu.
Nova geomterija zvanično je rođena 1854. godine kada je Riman svoj predlog rešenja izneo pred članove univerziteta u Getingenu. Veoma važan bio je i njegov esej ”O hipotezama u osnovi geometrije (Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen)”, kojim je više nego temeljno, i uspešno, oborio stubove klasične dvomilenijumeske geometrije. Time je srušena stara euklidska škola, prema kojoj su sve geomatrijske figure dvodimenzionalne, ili trodimenzionalne, i iz njenih ruševina uzdigla se nova rimanovska, koja će imati kolosalni uticaj po budućnost umetnosti, filozofije, književnosti i nauke. Inspirišući brojne velike umove u stvaranju dela koja idu korak dalje u opipavanju mogućnosti stvaranja našeg univerzuma.
Rimanova geometrija (Die riemannsche Geometrie) koju je prezentovao te godine izazvala je ogromno oduševljenje i čitav akademski svet slavio je ono šta im je darovano. Može se reći da se radilo o jednom od najvažnijih javnih predavanja u istoriji matematike/nauke.
Tako se ostvarila njegova ogromna težnja da matematička javnost učini kraj vladavini euklidske geometrije, po kojoj je prostor opisivan isključivo kao trodimenzionalan. Konačno, taj bastion matematičkog autoriteta bio je zahvaćen revolucijom Rimanove naučne misli protiv prividne matematičke preciznosti grčke geometrije, sazdane na nestabilnom tlu zdravog razuma i intuicije. Vrlo brzo je ovo stanovište samo dodatno osnaženo otkrićem da u pojedinim opitima ljudski razum uopšte nije merodavno merilo ispravnosti nekog eksperimenta, već da se sve svodi na numerologiju verovatnoće. Jer priroda, po svemu sudeći, ne haje previše za naš zdrav razum.
Definicija broja Pi (π) direktno nas uvodi u praktičnu primenu euklidske geometrije – obim kruga jednak je proizvodu broja Pi i prečnika, a zbir svih uglova u trouglu iznosi 180 stepeni. Pi je matematička konstanta široko primenjivana u matematici i fizici. Njena približna vrednost je 3,14159…, a definiše se kao odnos obima i prečnika kruga ili kao odnos površina kruga i kvadrata nad njegovim poluprečnikom. To je iracionalan broj, što znači da se njegova vrednost ne može izraziti preko razlomka.
No, brojne nedoslednosti euklidske geometrije i njene primene bile su jasno izražene, u smislu da isključivo važe u primeni na ravne površi, dok se prelaskom u svet zakrivljenih tela, odnosno prirodno okruženje, pokazuje nefleksibinost i nepreciznost formula koje su je određivale. Riman je tragao za velikom promenom koja bi upravo taj nedostatak rešila. Euklidika mu je zbog toga delovala krajnje površno, posebno u poređenju s bogatstvom i raznovrsnošću sveta koji leži na svakom koraku. U prirodi nema objekata s idealno ravnim površinama, a ni oblika, pa se ne treba vezivati za matematičko polazište koje ih za tako idealne u startu uzima. Oblaci na nebu, vodeni virovi, morski talasi, nisu samo savršeni trouglovi krugovi i kvadrati, već su to zakrivljeni objekti koji se krive i uvijaju na beskonačno mnogo kompleksnih načina.
Metrički tenzor
Ovaj veliki majstor matematike zasnovao je oblast posebne geometrije u okviru koje razmatra ideje koje se sada nazivaju mnogostrukost, Rimanova metrika i zakrivljenost. Ujedno konstruiše tzv. beskonačnu familiju drugih neeuklidskih geometrija koristeći formulu Rimanove metrike na jediničnoj lopti u euklidskom prostoru. Ponekad mu se pripisuje i otkrivanje eliptične geometrije, ali u stvari njegov rad zrači dalekovidošću i univerzalnošću teoreme za sve vrste geometrija.
Termin neeuklidska geometrija obuhvata hiperboličku i eliptičku geometriju, koje su negacija euklidske geometrije. Suštinska razlika između euklidske i neeuklidske geometrije ogleda se u prirodi paralelnih pravih. U euklidskoj geometriji, ako uzmemo pravu l i tačku A, koja ne leži na l, možemo nacrtati samo jednu pravu kroz tačku A koja je paralelna sa pravom l. U hiperboličkoj geometriji, nasuprot tome, ima beskonačno mnogo pravih kroz A paralelnih sa l, dok u eliptičkoj geometriji paralelne prave uopšte ne postoje.
Ono što Rimana svakako izdvaja od ostalih, i na čemu će izgraditi matematiku novog eona, jeste krucijalna ideja: za bilo koju tačku u prostoru dovoljan je određeni skup brojeva da bi se tim koordinatama opisalo u kojoj meri je određeni prostor deformisan. Naravno, govorimo o Rimanovom metričkom tenzoru (Der metrische Tensor):
Za površine dvodimenzionalne konfiguracije definisao je da je dovoljan skup od tri broja, a analiza svakog od njih omogućava mu da opiše zakrivljenost takve površine;
.
Istom logikom za četiri prostorne dimenzije (u ovom slučaju govorimo o četvrtoj dimenziji kao prostornoj, dok vreme klasifikujemo petom) potrebno je deset brojeva da bi svaki matematičar mogao precizno da opiše sva potencijalna svojstva koja taj prostor sa sobom nosi, bez obzira u kojoj meri je zakrivljen ili uvijen. Ovim pristupom, koliko god određeni prostor bio, hipotetički, naboran ili izobličen, skup deset brojeva bio bi apsolutno dovoljan da predstavi sve neophodne informacije.
Metrički tenzor sadrži sve neophodne informacije da omogući matematičko opisivanje čak i N-zakrivljenog prostora (prostora proizvoljnog broja dimenzija). Što je vreća vrednost tenzora, to je i naboranost površine veća i koliko god zgužvali list papira Rimanov tenzor nam uvek omogućava jednostavno merenje zakrivljenosti u svakoj njegovoj tački. Ukoliko bi izgužvani komad hartije, ili prostora na većoj skali, ispravili, onda bismo se jednostavno vratili korišćenju izvorne Pitagorine teoreme, koja je savršeno primenljiva na ravne površine.
Ovim novim pristupom Riman postaje pionir teorije o multidimenzionalnosti prostora. Uvođenjem dodatnih prostornih dimenzija on želi da pojednostavi zakone fizike, koji se tada mnogo lakše razumeju i objašnjavaju (sile koje su rezultat ili su uslovljene konfiguracijom prostora pri višim dimenzijama), što bi dalje vodilo jednoj sveopštoj teoriji. Danas se o tome govori kao o Teoriji svega (Theory of Everything, ToE) i pod tim se podrazumeva sveobuhvatna teorija koja u sebi uspeštno objedinjuje i objašnjava pojave iz fizike makro sveta (kosmosa) prema pojavama iz mikro (kvantnog) sveta.
Kao stariji prijatelj, moram te posavetovati da odustaneš na samom početku, jer nećeš uspeti. A čak i ako uspeš niko ti neće verovati.”, savetovao je Maks Plank Alberta Ajnštajna koji je pokušavao da istražuje i razume prirodu gravitacije.
Šest decenija nakon usvajanja Rimanovih inovacija, Ajnštajn će pomoću te četvorodimenzionalne geometrije pojasniti misteriju stvaranje kosmosa i njegovu dugu i kompleksnu evoluciju, što će označiti novu eru ljudskog istraživanja kosmosa i prostorvremena. Suština Rimanove zaostavštine predstavlja epohalno uviđanje da se svi fizički zakoni našeg univerzma maksimalno pojednostavljuju onog momenta kada se uvede koncept višedimenzionalnog prostora. Takav pristup omogućava savremenim fizičarima da se bave desetodimenzionalnim kosmosom, koji ih sve vodi ka jednom jedinom cilju – ka objedinjujućoj teoriji svega.
U toku rada na svojoj tezi Riman ujedno i sa profesorom Vilhelmom Veberom (Wilhelm Eduard Weber) radi na eksperimentima tada fascinatnog novog polja istraživanja – teoriji elektriciteta.
Tu je veliku pažnju fizičara izazvala je pojava koja se dešava propuštanjem elektriciteta kroz žicu nad kompasom, pri čemu dolazi do pomeranje igle kompasa. Taj fenomen poznat je kao Faradejev zakon i na njemu se zasniva rad svih električnih generatora savremenog sveta. Faradejev zakon elektromagnetne indukcije daje odnos promene magnetskog fluksa kroz površinu S, konturom C i električnog polja duž te konture, a zajedno sa ostalim zakonima elektromagnetizma kasnije je ugrađen u Maksvelove (James Clerk Maxwell) kompleksne jednačine elektromagnetizma. Ovime je objašnjeno jedinstvo električnog i magnetnog polja i njihova uzročno-posledična povezanost. Riman je na osnovu te pojave zaključio da se radi o ispoljavanju jedne te iste sile i video je način matematičkog objašnjenja koje objedinjava elektricitet i magnetizam, što do tada nije bio slučaj.
Kao što je Gaus svojevremeno govorio o tzv. knjiškim moljcima, odnosno bićima dvodimenzionalnog sveta, tako je i Riman zamislio hipotetičku rasu 2D bića koja žive na listu papira. Preokret u toj predstavi bilo je to što je on te moljce smestio na naborani list papira, dok ih je Gaus smeštao na savršeno ravan komad hartije. Šta bi Gausova bića zaključila o svom svetu, iz svoje perspektive? Verovatno to da je njihov svet savršeno ravan, jer bi im i tela bila zakrivljena zakrivljenošću prostora na kojem žive, te nikada ne bi mogli da primete da žive na prostorno izobličenom svetu. Ipak, pri dužem kretanju svakako bi mogli da instrumentalno registruju određene nepravilnosti svog sveta, koje bi, verovatno, okarakterisali tajanstvenim pojavama za koje nemaju logična objašnjenja, a sve u stvari usled nemogućnosti da vide širu sliku univerzuma u kome se nalaze. U njihovim glavama postojalo bi samo jedno rešenje za taj problem – po sredi je tajanstvena sila koja ih sprečava da se kreču pravolinijski. Slično, ili isto, se dešava i pri pokušaju razumevanja uticaja sile gravitacije na našem nivou postojanja, kada nismo u mogućnosti da je uzročno objasnimo. Kao i kada je u pitanju problem širenja kosmosa, gde se kao uzrok uzima egzotična tamna energija (pandan tajanstvenoj sili u koju veruju naše 2D komšije).
Odnos mase i prostora
Pitagora trodimenzionalnog prostora
Dakle, jednostavnim umetanjem novih članova u Pitagorinu teoremu tu jednačinu lako je generalizovati čak i u slučaju dijagonale N-dimenzionalne hiperkocke.
Iz svega do sada poznatog, može se s priličnom pouzdanošću pretpostavljati da se i uzrok sile gravitacije našeg svemira krije na nekoj od viših ravni prostora, koje mi još uvek ne detektujemo. Odnosno na višoj dimenziji koja nam promiče pred nosem. Ovim načinom teoretskog-matematičkog razmišljanja Riman je raskinuo sa Njutnom, osporivši njegov princip delovanja na daljinu. Po Rimanu sila je posledica geometrije.
Riman hrabro zamenjuje dvodimenzionalni list papira našim trodimenzionalnim svetom. Ali trodimenzionalnim svetom sada zakrivljenim u četvrtoj dimenziji (čime dobijamo četiri prostorne dimenzije uz vremensku sada kao petu, kao što je prethodno pomenuto). Upravo iz tog razloga nama naš kosmos svakako ne izgleda ni najmanje zakrivljeno, ali pokušamo li da se krećemo pravolinijski uočavamo određene probleme, usled pojave delovanja tih nevidljivih sila koje nas ometaju u našem pravolinijskom kretanju.
On zatim ide još jedan korak dalje i iz svega prethodno konstatovanog zaključuje da elektricitet, magnetizam i gravitacija nastaju usled mnogostrukog zakrivljenja našeg trodimenzionalnog univerzuma, ali zakrivljenja do kojeg je došlo u četvrtoj dimenziji. Otud proističe zaključak da sila svakako ne postoji ipso facto, već je ona posledica geomerijske deformacije prostora. Uvodeći na ovaj način četvrtu prostornu dimenziju Riman će naleteti na nešto što će postati više nego dominantna tema u modernoj fizici današnjice:
Svi zakoni fizike postaju izuzetno jednostavni čim se izraze kroz matematički model višedimenzionalnog prostora.
Ono čime je otvorio svoje čuveno predavanje 1854. bila je analiza Pitagorine teoreme – do tog momenta najvažnijeg matematičkog otkrića starih Grka, koje je predstavljalo osnovu čitave svetske arhitekture, jer se na njoj zasniva svaka izgrađena struktura na ovoj planeti. Ono šta je ova teorema donela jeste definisanje odnosa između dužine tri stranice pravouglog trougla:
Kvadrat nad hipotenuzom
jednak je zbiru kvadrata nad katetama
a² + b² = c²
Njena primenljivost ponajviše se ogleda u tome što se vrlo lako može generalizovati za trodimenzionalni prostor, jednom jednostavnom modifikacijom:
Zbir kvadrata tri dodirne stranice kocke
jednak je kvadratu dijagonale
Ako a, b i c predstavljaju stranice kocke, a d je dužina njene dijagonale, onda dobijamo sledeće:
a² + b² + c² = d²
Te ako su a, b, c… dužine stranica te hiperkocke, a z dužina dijagonale, onda je:
a² + b² + c² + d² + … = z²
Genijalni uvid je taj da iako više dimenzije ne možemo detektovati, niti vizuelno, niti mentalno predstaviti, njihova matematička formula, s druge strane, veoma je jednostavna i više nego primenljiva u svakodnevnoj naučnoj praksi.
Matematika ima na raspolaganju taj fantastično moćan set pravila kojima ovaj nedostatak lako zaobilazi i našim nedovoljnim mentalnim kapacitetima omogućava skok u percepciju sveta/svemira/prostor-vremena. Njome zapanjujuće lako računamo stranice multidimenzionalne hiperkocke i sve to na jednom parčetu dvodimenzionalnog lista hartije. Dakle, na jednom najobičnijem listu papira imamo sasvim dovoljno prostora da se bavimo opisivanjem svojstava višedimenzionalnih objekata, čiji pun oblik naš um ne može da pojmi. Otud matematičko manipulisanje N-dimenzionalnim prostorom nije ništa teže od manipulisanja trodimenzionalnim.
Dalje je Riman ove prostorne jednačine uopštio i za prostore s čak prozvoljnim brojem (N)dimenzija, kroz vizuru da oni mogu biti ili ravni ili zakrivljeni.
Ako se radi o ravnim prostorima, za njih i dalje bez ikakvih problema važe uobičajeni zakoni stare euklidske geometrije:
- najkraća razdaljina između dve tačke je prava linija
-paralelne prave nikada se ne seku
-zbir unutrašnjih uglova trougla je 180 stepeni
Riman medjutim kaže da površine mogu imati i pozitivnu zakrivljenost, kao u slučaju sfere, pri čemu se tada:
-paralelne prave seku
-zbir uglova u trouglu može biti i veći od 180 stepeni
Ravna, pozitivna i negativna zakrivljenost
A osim pozitivne, jednako je moguća i negativna zakrivljenost prostora, kao u primeru sedla, trube. Na tim površinama zbir unutrašnjih uglova trougla manji je od 180 stepeni.
Njegov cilj bio je da u svet matematike uvede nove tipove objekata, čijim bi jednačinama mogao da opiše gotovo sve tipove površina, ma koliko one bile kompleksne i nezamislive. I upravo ovaj matematički proboj imaće duboke implikacije na diskusije o objedinjenju svih sila, u kasnijim istraživanjima mnogih matematičara i fizičara širom sveta.
U mnogim Rimanovim nedovršenim beleškama ostalo je naznačeno da tajna ovog objedinjenja verovatno leži u proširenju njegove ”Rimanove metrike” na N-dimenzionalni prostor koji se dalje secka na proporcionalno manja polja, te svako polje odgovara i jednoj od četiri osnovne sile, koje bez ovog pojašnjenja deluju potpuno različito i nespojivo. Ovim pristupom moguće je opisivanje svih sila prirode – jake i slabe nuklearne sile, elektromagnetne i sile gravitacije – umetajem u Rimanov metrički tenzor poput delića slagalice. Sada sve počinje da se slaže i priroda jedne sile postaje kompatibilna s drugom. Imaju prostora da dišu i da se nadopunjuju, za razliku od prethodnih pokušaja razjašnjavanja koji su završavali u apsolutnoj haotičnosti.
Tada postaje i vidljiv rezultat zakrivljenosti našeg kosmičkog prostora na višoj ravni od naše, a ono što mi opažamo kao silu gravitacije, ili svetlost, verovatno predstavlja nus pojavu dimenzionalnih prelamanja. To je još uvek nesagledivo revolucionarno otkriće koje uvođenjem dodatnih dimenzija postojanja čini neizmerno lakšim opisivanje i razumevanje prirodnih sila našeg univerzuma.
Tako ova matematika odjednom bez ikakve mistifikacije nudi vrlo elegantno i utemeljeno objašnjenje delovanja sila kosmosa, jer u N-dimenzionalnom prostoru ima dovoljno mesta za objedinjavanje svih njih zajedno.
Potpuno sam uveren da je moja teorija ispravna i da će je za nekoliko godina javnost prihvatiti”, kaže Bernhard Riman.
Ovde je takođe veoma važno pomenuti još jedan koncept koji je Rimanu bio samo prirodan sled razmišljanja nakon Metričkog tenzora, kojim je najavio sledeći važan korak u fizici. On je, naime, prvi počeo s razmatranjem ideje o višestruko povezanim kosmičkim prostorima – crvotočinama. Tu ideju najlakše je predstaviti s dva lista papira zasečenih na istim mestima, jedan povrh drugog. Ukoliko bi biće koje živi na jednom od njih slučajno naišlo na tu zaseklinu momentalno bi se našlo na drugom listu papira. Rimanovi zaseci primeri su crvotočina koje potencijalno spajaju više različitih prostora. Različite svetove. Univerzume.
Matematičar Čarls Dodžson (Charles Lutwidge Dodgson), celom svetu poznatiji pod svojim književnim pseudonimom Luis Kerol (Lewis Carroll), vrlo vešto je ova naučna saznanja koristio kada je pisao čuveno delo ”Alisa u zemlji čuda (Alice’s Adventures in Wonderland)”. Delo koje, pre svega, govori o paralelnom svetu gde se sve nalazi sa suprotne strane u odnosu na ovaj naš. Tako čuveni Rimanov zasek spaja Englesku i Zemlju Čudesa. Takođe i kubisti su pokušavali da sagledaju neku drugu stvarnost, kroz oči bića četvrte dimenzije, jer bi takav stvor naše ljudsko, trodimenzionalno, lice video iz svih mogućih uglova istovremeno. Baš kako je i Pikaso to predstavio Portretom Dore Mar (Dore Marković).
Portret Dore Mar (Dore Marković) – Pablo Pikaso
”Verodostojna vizuelna predstava četvrte dimenzije moguća je koliko i predstava o bojama nekome ko je rođen slep”, kaže čuveni nemački lekar i fizičar Herman Helmholc (Hermann von Helmholtz) u delu ”Popularna predavanja o naučnim predmetima”.
No i pored očigledne delotvornosti Metričkog tenzora, Riman ipak nije znao precizne jednačine koje su metrički tenzori sledili. Odnosno, nije znao zbog čega se površina uvija. Šta izaziva tu promenu konfiguracije prostora. Ali najveći problem u rešavanju i te misterije prirode bilo je siromaštvo. Njegovi briljantni uspesi nisu mu doneli novca, a to je dovelo do još jednog nervnog sloma. Provodeći veći deo života u nemaštini zdravlje mu biva ugroženo, te umire prerano kao i mnogi drugi veliki naučni umovi tog i ranijih perioda. U 39. godini života savladala ga je tuberkuloza, pre nego što je stigao da dovrši svoju geometrijsku teoriju gravitacije, elektriciteta i magnetizma.
Rad Bernharda Rimana dao je osnovu onoga što danas zovemo matematikom hiperprostora i bio je prethodnica najvećih tema u fizici, aktuelnih do dana današnjih. Njegovo delo se u narednim godinama, kroz dalji razvoj neeuklidske geometrija, pokazalo više nego značajno za fiziku XX veka. Ako ne i ključno. Ajnštajnova Opšta teorija relativnosti opisuje prostor kao generalno ravan (euklidski), ali i eliptički zakrivljen (neeuklidski) u oblastima u blizini kojih je prisutna materija. Zadajući ograničenje brzini svetlosti, sabiranje brzina zahteva nužno korišćenje hiperboličke geometrije. A s obzirom na to da se kosmos širi, čak i prostor gde nema materije, ili je ima tek minimalno, može se opisivati uz pomoć hiperboličkog modela.
Teorija hiperprostora
U ovom odnosu predstavljene, u okvirima teorije hiperprostora, fundamentalne sile počinju da se uklapaju same od sebe, poput delića slagalice. Što do tada nikako nije bio slučaj:
Ajnštajnovo polje (koje opisuje gravitaciju);
.
Maksvelovo polje (koje opisuje elektromagnetnu silu);
.
Jang-Milsovo polje (opisuje slabu i jaku silu).
Ova vrsta geometrije, gde se zakrivljenost menja od tačke do tačke, nazvana je Rimanovskom geometrijom.
Rimanova napredna matematička vizija išla je daleko ispred relativno zaostalog razumevanja fizike XIX veka. Trebalo je čekati tek naredni vek da fizičari uhvate sofisticirani ritam matematičara, jer ono što je Rimanu nedostajalo da dovrši svoj magnum opus na poljima sile bile su jednačine polja, kojima se elektricitet i magnetizam povinuju. Odnosno, Riman nije proniknuo u to kako bi univerzum trebalo da bude naboran da bi se dobila sila gravitacije kakvom je mi znamo. Za to veliko otkriće biće zaslužni Maksvel i Ajnštajn, kao glavni nastavljači ideje i vizije Bernharda Rimana. Tako krivljenje prostora stoji u direktnoj vezi s količinom energije i materije u njemu, odnosno materija-energija određuje zakrivljenost okolnog prostorvremena. I upravo je to i sažeto u Ajnštajnovoj poznatoj jednačini, iz koje se potom izvode dalji principi koji su u osnovi funkcionisanja zvezda, galaksija, crnih rupa, Velikog praska, a možda i sudbine čitavog našeg kosmosa.
Jednačine fizike su poput poezije prirode – a odlika dobrih je da su kratke i organizovane po određenim principima. Tako neke od njih u svojim stihovima otkrivaju i najlepše, skrivene, simetrije ovog sveta.
Možda krucijalne jednačine Džejmsa Maksvela nisu previše lepe, niti skladne kao Ajnštajnove, jer ne poseduju previše izražene simetrije, ali one stoje u temeljnim načelima instrumenata svih fizičara i inženjera. Bez njih nema radarske niti radio tehnologije, nema kultivisanja mikro talasa, lasera, mikro-tranzistora i mnogih drugih uređaja bez kojih naš svet danas ne bi bio zamisliv. Tih osam ružnih jednačina predstavljaju ono što je krivica za advokate ili stetoskop za doktore. No, kada se tih 8 nezgrapnih jednačina izrazi kroz koncept vremena kao četvrte dimenzije, sve one tada se svode na jednu tenzorsku jednačinu. To je ono što onda fizičari zovu istinskom lepotom! Time su, ujedno, zadovoljena oba kriterijuma – simetrije i funkcionalnosti.
Povećanjem broja dimenzija otkrivamo pravu, četvorodimenzionalnu simetriju prirode i tada pomoću samo jedne jednačine u stanju smo da izrazimo i objasnimo ogromnu količinu eksperimentalnih podataka, koja u suprotnom deluje izuzetno haotično i nekompatibilno.
Primenom koncepta viših dimenzija Ajnštajn je pojednostavio zakone prirode i ostvario poduhvat koji je Riman započeo šezdeset godina ranije, uvidevši da je sila posledica geometrije viših ravni. Otkrivši taj fizički princip, možemo slobodno reći da je i nadmašio nedorečenog genija Bernharda Rimana.
Šta bi Riman mislio da je znao da će se njegov metrički tenzor posle jednog veka razviti u supermetrički tenzor koji je po veličini daleko premašivao zamisli matematičara XIX veka i u XX veku uveo matematiku XXI veka, pre njenog vremena?
Ljudsko prokletstvo je u tome što softver uvek premašuje snagu hardvera.
izvor : Dražen Pekušić
Нема коментара:
Постави коментар