Matematički svet: Aristotelijanski realizam kao novi početak
Neki filozofi misle kako matematika postoji samo u tajanstvenom onostranom području. Nisu u pravu. Pogledajte oko sebe: možete je videti.
O čemu se radi u matematici? Znamo o čemu se radi u biologiji; radi se o živim bićima. Ili preciznije, o fiziološkim aspektima živih bića – kretanje mačke bačene kroz prozor je stvar fizike, no njena fiziologija je tema biologije. Oceanografija se bavi oceanima; sociologija ljudskim ponašanjem u društvenim grupama kroz duži period; i tako dalje. Kada se izlože sve nauke i njihovi subjekti, preostaje li još ijedan aspekt stvarnosti da bi se njime bavila matematika? To je osnovno pitanje filozofije matematike.
Ljudi ne brinu o filozofiji matematike na isti način na koji brinu, recimo, o filozofiji računovodstva. Možda je razlog u tome što evidentnost i objektivnost matematike, njenog zasvagda vredećeg establišmenta kao stena stabilnih istina, stoji kao izazov mnogim opštim filozofskim pozicijama. Nemaju samo ekstremno skeptički pogledi poput postmodernizma problem s matematikom. Problem s njom imaju i svi empirijski i naturalistički pogledi koji se nadaju doći do punog „naučnog“ objašnjenja stvarnosti i našeg znanja o njoj. Problem nije u tome što je matematika istinita, nego što su njene istine apsolutno vredeće i da ljudski um može ustanoviti te nužnosti i razumeti zašto one moraju biti nužne. Veoma je teško objasniti kako bi mozak objašnjen čisto fizičkim procesima bio u stanju tako nešto.
Jedan poznati filozof koji matematičku nužnost doživljava kao neugodnost je Peter Singer. U njegovom bestseleru o etici on tvrdi kako se ne možemo pouzdati u intuitivne etičke istine, budući da je najuverljiviji slučaj intuicije, u matematici, netačan. „Samoočiglednost osnovnih istina matematike“, kaže on, „može biti objašnjena… posmatranjem matematike kao sistema tautologija… istinitih u odnosu na značenja termina koji se koriste.“ Singer greši kada tvrdi kako je ova filozofija matematike, nazvana logicizam, „naširoko, ako ne i univerzalno prihvaćena“. Jer logicizam nije prihvaćen ni od jednog ozbiljnog filozofa matematike u zadnjih 100 godina. No jasno je zašto bi bilo ko, ko poput Singera želi objasniti neobičnu moć ljudske intuicije, mogao želeti da deflacijska filozofija matematike bude istinita.
Na pitanje: „Da li se matematika u suštini bavim ičim opipljivim?“, postoje dva odgovora: „Da i ne“. Oba odgovora su duboko nezadovoljavajuća.
Odgovor „ne“, čiji su zagovornici poznati kao nominalisti, tvrdi kako je matematika samo jezik, način govora o drugim stvarima, ili kolekcija logičnih trivijalnosti (kako tvrdi Singer), ili formalna manipulacija simbola prema određenim pravilima. Kako god uzmete ovaj odgovor, tu matematika nije nauka o nečem opipljivom. Onaj čiji susret s matematikom u školi i nije bio tako sretan („minus i minus daju plus/razlog za ovo ne moramo diskutovati“) mogao bi osećati simpatiju s ovom nominalističkom slikom. No, to je takođe teorija privlačna fizicistima i inžinjerima koji smatraju ozbiljna razmatranja o stvarnosti svojim poslom. Oni gledaju na Laplaceove tablice i transformacije i druge slične matematičke parafernalije kao, rečima nemačkog filozofa Carla Hempela, „teoretske mašine za sok“: korisne za dobijanje dodatnog smisla iz jedrih fizičkih propozicija, no same u sebi su besadržajne.
Nominalizam bi se mogao gledati kao određeni poziv na prizemljivanje matematike, no daljnja refleksija sugeriše kako nominalizam nije ispravan. Iako je manipulacija simbolima korisna kao tehnika, imamo snažno mnenje da matematika donosi objektivna otkrića o području koje je na neki način „negde tamo“. Uzmite suptilnost deljenja prostih brojeva. Neki su brojevi prosti, drugi nisu. Tucet jaja se može spakovati u kartone 6x2 ili 3x4, no jaja se ne prodaju u kartonima po 11 ili 13 jaja jer nema zgodnog načina da ih rasporedimo u takve kartone: 11 i 13, za razliku od 12, su prosti brojevi, a prosti brojevi ne mogu biti formirani umnožavanjem dva manja broja. Ideja je veoma lako shvatljiva. No to ne znači da se tu nema ništa otkriti.
Ispada kako način na koji su prosti brojevi raspoređeni među brojevima uključuje kompleksnu međuigru uzoraka i iregularnosti. Gledamo li samo manje skupove brojeva, sledeće je evidentno: postoje dugi nizovi bez prostih brojeva – beskonačno dugi nizovi, zapravo. Istovremeno, naširoko je rasprostranjeno uverenje kako postoji beskonačno mnogo parova prostih brojeva; tj. parova brojeva koji su jedan od drugoga razdvojeni samo jednim brojem a oba su prosti brojevi, poput 41 i 43.
Ako bacimo jedan širi pogled na ukupnost brojeva, utisak nereda bledi i konačno postaju vidljivi uzorci. Prosti brojevi postaju postupno manje gusti kako se broji naviše: gustina prostih brojeva oko velikog broja je obrnuto proporcionalna njegovom redu veličine. Gustina prostih brojeva oko triliona (1012), npr. je upola velika kao gustina oko miliona (106). Više preciznih informacija o kompleksnosti distribucije prostih brojeva je sadrženo u Riemannovoj hipotezi, trenutno najpoznatijem nedokazanom nagađanju matematike.
Ovo je tipično za rezultate čiste matematike, od jednostavnih školskih činjenica kao što je deljivost brojeva s 9 ako je zbroj njihovih znamenki deljiv s 9, sve do viših dometa apstraktne algebre. Nemoguće je izbeći zaključak kako čista matematika otkriva topografiju područja čije su istine postojale pre naših istraživanja i čak pre našeg jezika.
Inspirisan tom mišlju, platonizam predlaže filozofiju matematike suprotnu nominalizmu. On tvrdi kako je matematika nauka o području nefizičkih objekata kao što su brojevi i skupovi, apstraktne stvari koje postoje u tajanstvenom području formi izvan prostora i vremena. Ako to zvuči nategnuto, imajte na umu kako čisti matematičari zasigurno govore i često misle na taj način o svom subjektu. Platonizam se također dobro slaže s vidljivim uspehom matematičkog dokaza, koji, čini se, demonstrira kako bi stvari morale biti u svim mogućim svetovima, nezavisno od toga kakvi bi zakoni prirode mogli biti u bilo kom od tih svetova. Zakon kako je kvadratni koren od 2 iracionalan broj ne počiva ni na jednom zapažanjem ustanovljenom zakonu, sugerišući kako je kvadratni koren od 2 entitet izvan našeg promenjivog sveta prostora i vremena.
Ipak, uprkos svojim jasnim tezama i dugoj istoriji, ni platonizam ne može imati pravo. Od vremena samog Platona, nominalisti su iznosili neke veoma uverljive primedbe. Evo jedne: ako apstraktne ideje plutaju negde izvan našeg svemira, prostora i vremena, teško je zamisliti kako ih mi možemo videti ili imati ikakav osećajni kontakt s njima. Kako onda znamo da su one tamo? Neki moderni platonisti tvrde kako ih mi zaključujemo, isto tako kako zaključujemo postojanje atoma kako bismo objasnili rezultate hemijskih pokusa. No to se ne čini isto kao način na koji znamo stvari o brojevima. Petogodišnjaci koji uče brojati ne izvode sofisticirane zaključke o apstrakcijama; njihov kontakt s numeričkim aspektom realnosti je nekako više osetan i direktan. Čak i životinje do nekog stepena mogu brojati.
U svakom slučaju, problem s platonizmom nije toliko problem znanja koliko je problem njegovog pogleda na matematičke entitete. Svakako ako merimo, računamo ili predviđamo vreme matematički, imamo posla s matematičkim osobinama stvarnih stvari u ovom svetu, kao što je njihova kvantiteta. Te osobine nisu apstraktne stvari: poput boja, one imaju uzročne sile koje rezultuju time da ih možemo videti. Vizuaelni sistem lako detektuje te osobine kao što je odnos moje visine s tvojom (ako stojimo jedan pored drugoga). Tu nema prostora za apstraktne stvari iz drugih svetova da uđu u priču, čak i ako one postoje.
Nominalisti i platonisti su se borili jedni protiv drugih do primirja, otkrivajući jedni drugima fatalne mane u nazorima svojih protivnika, i jedni i drugi nesposobni da etabliraju vlastitu poziciju. Krenimo od početka.
Zamislite Zemlju pre nego što je bilo ljudi koji misle matematički ili pišu formule. Tu su bili dinosaurusi, mali i veliki, drveće, vulkani, reke i vetrovi… Da li je u takvom svetu bilo kakvih osobina matematičke prirode (govorimo što neobavezujuće moguće)? To jest, da li je među osobinama stvarnih stvari u tom svetu (ne nekom apstraktnom svetu) bilo nekih koje možemo prepoznati kao matematičke.
Bilo je mnogo takvih osobina. Na primer, simetrija. Poput većine životinja, dinosaurusi su imali približno bilateralnu simetriju. Drveće i vulkani su imali približno kružnu simetriju s nasumičnim elementima – gledano odozgo, izgledali su kao da su rotirani oko svoje osi. Isto vredi i za jaja. No simetrija, bila tačna ili približna, je osobina koja i nije baš skroz fizička. Nefizičke stvari mogu također imati simetriju; argumenti, npr, imaju simetriju ako zadnja polovina ponavlja prvu polovinu obrnutim redosledom. Simetrija je nekontroverzna matematička osobina, i važna grana čiste matematike – teorija grupa – je posvećena klasifikovanju njenih vrsta. Kada se simetrija ostvari u fizičkim stvarima, ona se često očito primeti; ako imaš asimetrično lice, ne idi u politiku, jer će to neposredno napraviti loš utisak na tv-u. Simetrija, kao i druge matematičke osobine, može imati uzročne sile, za razliku od apstraktnih stvari kako ih poima platonizam.
Još jedna matematička osobina, koja je poput simetrije lako opaziva u mnogim vrstama fizičkih stvari, je proporcija. Visina velikog dinosaurusa stoji u određenom odnosu prema visini malog dinosaurausa. Odnos njihovih volumena je drugačiji – u stvari odnos njihovih volumena je mnogo veći od odnosa njihovih visina, što velike dinosauruse čini nezgrapnima a manje bodrim i pokretnim. Zadani odnos je nešto što može biti odnos dve visine, ili dva volumena, ili dva vremenska intervala; proporcija je ono što te relacije između različitih vrsta fizičkih entiteta dele i stoga je to više matematička osobina nego visina, volumen i sl., koje su fizičke osobine. Proporcija je ono što merimo kada određujemo kakav odnos dužina (ili volumen, ili vreme, itd.) jedne jedinice ima s dužinom druge proizvoljno izabrane jedinice. Kako bi to Isaac Newton sročio u svom jedinstveno učenom jeziku: „Pod brojem ne razumemo toliko mnoštvo jedinica, koliko razumemo apstraktni odnos bilo koje kvantitete prema drugoj kvantiteti iste vrste, i taj apstraktni odnos razumemo kao jedinstvo.“
Bilo kakva digresija u područje primenjene matematike – retko preduzeta od strane filozofa matematike, koji preferišu sigurno tlo brojeva i logike – će kod budnog promatrača pokazati mnoga druga kvantitativna i strukturalna svojstva koja sama po sebi nisu fizička već mogu biti ostvarena u fizičkom svetu (i u bilo kom drugom svetu koji bi mogao postojati): nizovi, odnosi, kontinuitet i zasebnosti, alternacije, linearnost, povratna veza, topologija mreže i mnoge druge.
Postoji naziv za filozofiju matematike koja naglašava način na koji se matematičke osobine pojavljuju u stvarnom svetu. Naziv te filozofije je aristotelijanski realizam. On je zasnovan na Aristotelovom svetonazoru, suprotnu onome njegovom učitelja Platona, da su osobine stvari stvarne i da su u stvarima samim, a ne u nekom drugom svetu ideja. Verzija tog stava, koja je držala kako je matematika „nauka o kvantitetu“, bila je zapravo vodeća filozofija matematike sve do vremena Newtona, no ideja je otada uvelike iščeznula sa scene.
Zbog toga što aristotelijanski realizam insistira na ostvarivosti matematičkih veličina u svetu, on može dati jednostavno rešenje problema kako su nam poznate osnovne matematičke činjenice: opažanjem, na isti način kao i druge osnovne činjenice. Proporcije i visine su vidljivi (naravno, do stepena procene). Deca i životinje vidljivo imaju sposobnost da prepoznaju uzorak i da procene broj, oblik i simetriju.
Naše razvijene ljudske intelektualne sposobnosti dodaju dve stvari tim jednostavnim opažajima. Prva stvar je vizualizacija koja nam dopušta da razumemo nužne odnose između matematičkih činjenica. Pokušajte ovu laku mentalnu vežbu: zamislite šest krsteva poredanih u dva reda po tri krsta, prvi red direktno iznad drugoga. Mogu jednako tako zamisliti istih šest krsteva u tri reda s po dva krsta. Prema tome je 2×3=3×2. Ne samo da primećujem kako je 2×3 zapravo jednako 3×2, nego i razumemo zašto 2×3 mora biti jednako 3×2. Platonisti su imali pravo kad su upozoravali na sposobnost ljudskog uma da pojmi matematičke nužnosti; oni su samo prevideli da su te nužnosti često ostvarene u ovom svetu. Druga intelektualna sposobnost kojom ljudski um produžava rezultate opažanja je dokaz. Matematički dokazi vežu niz uvida, individualnih uvida poput „2×3=3×2“, kako bi demonstrirali nužnosti koje se ne mogu razumeti opažanjem, kao što je činjenica da gustina prostih brojeva opada kod većih brojeva.
Aristotelijanski realizam stoji u teškom odnosu s naturalizmom, projektom pokazivanja kako sav svet i ljudsko znanje mogu biti objašnjeni pojmovima fizike, biologije i neuronauke. Ako su matematičke osobine ostvarene u fizičkom svetu i sposobne su biti primećene opažanjem, tada se matematika može činiti ništa lakše objašnjivom od opažanja boja, koje svakako može biti objašnjeno naturalističkim pojmovima. S druge strane, aristotelijanci se slažu s platonistima kako je matematičko razumevanje nužnosti tajanstveno. Ono što je nužno jest istinito u svim mogućim svetovima, no kako može opažanje videti u druge moguće svetove? Skolastici, aristotelijanski katolički filozofi srednjeg veka su bili toliko impresionirani sa sposobnošću uma da dokuči nužne istine da su zaključili kako je intelekt nematerijalan i besmrtan. Ako se današnji naturalisti ne žele slagati s tim, eto im izazova. „Nemoj mi govoriti, pokaži mi“: napravite sistem veštačke inteligencije koja je sposobna da imitira stvarni matematički uvid. Čini se kako još nema obećavajućih planova za takvo nešto.
Standardne alternative u filozofiji matematike nisu uspele da uvide najjednostavnije činjenice o tome kako nam matematika govori o svetu u kom živimo – nominalizam, redukujući matematiku na trivijalnosti, platonizam razdvajajući matematiku od stvarnog sveta u kom su matematičke istine potreban kostur. Aristotelijanski realizam je novi početak. On povezuje filozofiju matematike s primenom koja je uvek bila plodno tlo iz koga raste matematika. On ima poruku i za filozofiju i za matematiku i njeno učenje: nemojte se zaslepiti preslažući simbole, nemojte nestati u sferi apstrakcija, samo usredotočite oko na matematičku strukturu stvarnog sveta.
Autor: James Franklin,
profesor matematike na Univerzitetu Novi Južni Wales u Sydneyu. Autor je knjige Aristotelska realistička filozofija matematike
Izvor: aeon.co
S engleskog preveo: Marijan Oršolić
Odabrao i uredio: Prometej.ba/F.Š.
Нема коментара:
Постави коментар