Moris Kornelis Ešer, astronomija, geometrija

Dr Milan M. Ćirković

ESCHER I ASTRONOMIJA

           Jedna od svakako najmanje poznatih činjenica u vezi sa Esherom jeste njegovo amatersko bavljenje astronomijom. Ono je bilo posebno intenzivno nakon njegovog povratka u Holandiju, gde je imao nekoliko malih teleskopa i postao član holandskog Društva za meteorologiju i astronomiju.
     Esher je po svim svedočanstvima bio veoma kompetentan astronom amater koji je sa prilično pažnje i truda pristupao ovom svom hobiju, što se između ostalog vidi i iz sačuvanih dnevnika posmatranja koji je pažljivo vodio.

     Kao i kod drugih poznatih astronoma-amatera među velikim ljudima (poput, npr. američkog pisca Hauarda Lavkrafta ili britanskog biologa i polihistora Džona B. S. Holdejna), astronomija je imala dvojaku ulogu u njegovom životu: ne samo što mu je kao i svaki drugi hobi obezbeđivala neophodno opuštanje od teškog (i stvaralački i fizički, posebno za osobu tako krhkog zdravlja) rada na grafikama i duborezima, već je i predstavljala, kao što ću pokušati da dočaram u ostatku ovog teksta, izvorište bar jednog dela njegove bogate inspiracije.

    Posmatrački dnevnik ukazuje uglavnom na posmatranja dvojnih zvezda, od kojih su neke, poput Gama Andromede ili Eta Kasiopeje, poznati objekti od interesa i za profesionalne istraživače. Esher pažljivo beleži trajanja posmatranja, magnitude objekata (komponenti dvojnih/višestrukih zvezda), njihov geometrijski položaj, vizuelnu boju i eventualne druge komentare. Sve je to daleko više informacija od prosečnog astronoma-amatera. U dnevniku je beležio da je često izlazio na posmatranja oko ponoći i ostajao do prvih svetlosti praskozorja, oko 4 ujutru. U belešci za 18. juli 1944, on zapisuje posmatranja čak 15 dvojnih zvezda, od kojih je uspeo da vizuelno razdvoji 14, kao i poznate planetarne magline Prsten u Liri (za koju je u dnevniku zapisao: “Podseća me na blago utisnuti otisak prsta na nebeskoj kupoli.”)

3.“Drugi svet” (1947)

      Pored toga, postoji obilje odlomaka iz njegovih predavanja i pisama u kojima pominje različite astronomske fenomene. U poznatom predavanju u kome opisuje svoje putovanje u zapadnu Kanadu (kroz Panamski kanal!) teretnim brodom tokom 1960. godine, Esher priča o usputnim posmatranjima brojnih zvezda, naročito onih sa južne nebeske hemisfere, nevidljivih iz Holandije.

4. “Zvezde” (1948)

        Takođe beleži i posmatranja konjukcije planeta, a povrh svega se nalazi dramatična priča o mnogim uzaludnim pokušajima, i konačnom uspehu da (24. septembra 1960.) posmatra čuveni “zeleni blesak” – poslednji zrak zalazećeg Sunca koji se, pri jako retkim posmatračkim uslovima, na neobičan način prelama u atmosferi i daje čudnu zelenu boju. Mnogo govori izjava tako velikog vizuelnog umetnika kakav je Esher bio da “iako se radi o zadivljujućem iskustvu, nikada ne bih bio u stanju da ga naslikam”.

       Astronomske teme su eksplicitno prisutne u više njegovih dela – “Drugi svet” ili “Zvezde” (Slike 3 i 4) su dobri primeri za početak. “Zvezde”, drvorez napravljen 1948. godine, predstavlja žičanu konstrukciju tri kompozitna oktaedra koja lebde u svemiru sa dva kameleona unutar njih, uz očigledno isprepletanje motiva promenljivosti i nepromenljivosti.

       U pozadini vidimo mnogobrojne druge poliedre, uključujući dva ikosaedra (pravilna tela koje gradi 20 pravilnih trouglova). Jedna od manjih zvezda u donjem desnom uglu slike predstavljena je solidnim oktaedarskim 3-kompozitom. Dva zvezdasta osmougla (lat. Stella octangula) se pojavljuju, a tu su još i kuboktaedar, rombikuboktaedar, deltoidni ikositetraedar i čitava gomila drugih egzotičnih stanovnika ovog “geometrijskog zoološkog vrta”.

5.Kubna podela prostora” (1952) predstavlja jednu od najboljih ilustracija mogućnosti fleksibilne promene samog prostora (kao kod Hablovog širenja


         Jasno je da Esher ovde naglašava skrivenu vezu geometrije i fizičkog uređenja našeg sveta – to što se nama čini da zvezde i druga nebeska tela nisu više ili manje pravilne geometrijske figure izraz je specifično ljudske – i kao takve ograničene – percepcije; pravi jezik uređenja svemira je geometrijski. Ne treba ni naglašavati da je savremena nauka, od Ajnštajna naovamo, mnogo puta potvrdila ovaj ključni (meta) fizički uvid.
    Još suptilnija je, međutim, igra vezana za “Tetraedarski asteroid” i “Koncentrične kore” (Slika 7 i 8). O prvoj grafici sam Esher u svojim poznatim predavanjima o “Pravilnoj podeli ravni” govori:


            »Neka imamo planetoid koji nastanjuju ljudi i koji ima oblik nalik na tetraedar. Vidimo dve njegove strane oblika trougla; zajedno obrazuju kvadrat, koji okružuje loptasta atmosfera, iz koje izlaze samo uglovi. Izgleda da ljudi i na toj visini mogu da dišu. Otisak nema “gore” i “dole”: može se okretati u svim smerovima, budući da su uspravne linije usmerene ka centru teže planete, a sve vodoravne površine jesu delovi kalote lopte«.

       Naravno, ono što je zanimljivo jeste da je Esherova umetnička imaginacija uobličila ovu viziju skoro dve decenije pre čuvene ideje Džerarda O'Nila o kreiranju veštačkih habitata u svemiru (i, posredno, brisanja razlike između prirodnog i veštačkog). Na sličan način zagonetne “Koncentrične kore” sedam godina prethode poznatoj ideji velikog fizičara Frimena Dajsona o izgradnji “Dajsonovih sfera” – Esher je tako i nehotice unapred dao najlepše likovne prikaze poduhvata budućeg astro-inženjeringa!

6.“Relativnost” (1953) – često reprodukovana ilustracija neintuitivnog odsustva preferiranog pravca u prostoru


        Slika prikazuje svet u kom ne vrede tipični zakoni gravitacije; postoje tri izvora gravitacije, svaka ortogonalna u odnosu na druge dve i svaki od ukupno šesnaest stanara je stavljen na svoje gravitacijsko polje, koje jeste u skladu s uobičajenim zakonima gravitacije. Prividna zbrka nastaje zbog tri gravitacijska polja prikazana u istom prostoru. Sedam je stepeništa kojim hodaju ljudi različitih gravitacijskih polja, interesantne su gornje dve figure koje idu istim stepenicama u istom smeru a gravitacijski naginju različito, pa se desna spušta a leva penje- unazad) . Ceo arhitektonski sklop je prikazan kao idilična zajednica, u kojoj se njeni opušteni stanovnici koji bave normalnim aktivnostima. Inače su svi izgledom isti.

       Takođe je bio fasciniran paradoksima i “nemogućim” objektima, kao što su Penrouzove stepenice kojima se može istovremeno beskonačno uspinjati i spuštati (Slika 6). Na taj način, Esherov rad obuhvata dve široke oblasti: geometriju prostora i ono što bismo mogli nazvati logikom prostora; obe su u najtešnjoj vezi sa kosmologijom. Jedna od stvari koje nas kosmologija uči jeste da se svemir širi, a to je širenje opisano linearnim (barem na kosmološki malim i srednjim skalama) Hablovim zakonom.

       Ima li bolje predstave širećeg prostora od zamišljanja Esherove “Kubne podele prostora” (Slika 5.) i zamišljanja da se svaka od šipki koja sačinjava rešetku istovremeno produžava konstantnom stopom?

      Zamislimo da su čvorišta u kojima se šipke stiču galaksije i da se mi nalazimo na jednoj od njih. Ako posmatramo okolne galaksije, videli bismo da se naši najbliži susedi udaljavaju od nas nekom brzinom V (zbog istezanja šipke između nas i njih), dok bi se drugi po redu susedi udaljavali od nas brzinom 2V (zbog istezanja dveju šipki). Uglavnom, susedi udaljenosti N bi se od nas udaljavali brzinom NV, odnosno na taj način bismo izveli linearnu relaciju udaljenosti i brzine – upravo Hablov zakon!

7. “Tetraedarski asteroid”(1954), jedna od nekoliko Esherovih grafika koje se mogu smatrati umetničkom vizijom budućeg astro-inženjeringa

        Verovatno najkompleksnija Esherova obrada večne (još od Epimenida Krićanina!) teme samo-referencije jeste njegova maestralna “Galerija grafika” (Slika 9). Ova čudesna petlja koju detaljno razmatra Hofštater u Gedel, Esher, Bah, nazivajući je likovnom parabolom Gedelove teoreme o nekompletnosti matematike, može se posmatrati i kao metafora kosmosa koji nastanjujemo.

     Za razliku od nas kao posmatrača slike (koji se po definiciji nalazi izvan sistema), u kosmologiji mi smo upravo u dvosmislenoj ulozi Esherovog mladića u galeriji: deo smo celine koju posmatramo i svojstva te celine i naša svojstva moraju biti usaglašena.

     Ovaj zahtev za samousaglašenošću kosmosa centralni je element antropičkog načela – a samousaglašenost se manifestuje kroz refleksivni deo celine, odnosno kroz inteligentne posmatrače poput nas.

             U centru grafike imamo “nedodirljivu” tačku – pravu singularnost! Zanimljivo je da je nedavno, korišćenjem savremenih kompleksnih mapiranja, eliptičkih funkcija i računarskih modela, pokazano kako bi se “Galerija grafika” morala dopuniti ako bi se hteli dalje približiti singularitetu; naime, u beloj mrlji morala bi se nalaziti kopija čitave grafike zarotirana za ni manje ni više nego 157.6255960832... stepeni i umanjena za faktor od 22.5836845286... puta (de Smit et al. 2003)!

Beskonačno, kako jeste

8. “Koncentrične kore”(1953) – Dajsonova sfera u izgradnji

       Esherov čudesni svet predstavlja vrhunski primer produktivne interakcije naučnog i umetničkog duha u zajedničkom poduhvatu kreiranja autentičnih stvaralačkih vrednosti.
     Esher se pojavljuje kao dubok mislilac, sličan Leonardu ili Direru, čije grafike ne uzrokuju samo osećaj fascinacije i divljenja, već i provociraju našu inteligenciju da otkrije dalje i dublje veze od puke teme umetničkog dela i znanja umetnika, kroz brižljive i detaljne predstave simetrije, paradoksa, dualnosti, harmonije, proporcije i beskonačnosti.
    Istovremeno, on nas podseća da ni u nauci, baš kao ni u umetnosti, izvori inspiracije često nisu očigledni, a posebno ne racionalno objašnjivi. Kao što je Vilijem Blejk odavno zapisao: “Kad bi vrata percepcije bila očišćena, sve bi ljudima izgledalo kako i jeste – beskonačno...”

autoportret 1923

ESHEROVA KOSMOLOGIJA I INTUICIJA NEINTUITIVNOG

      Dobro je poznato da su mnogi od najtežih problema nastave savremene matematičke fizike vezani za koncepte neeuklidskih (i generalno zakrivljenih) prostora – ljudska intuicija prostora jednostavno je, kako je najdetaljnije obrazlagao Imanuel Kant, odveć intimno vezana za “obični” euklidski prostor našeg svakodnevnog iskustva da bi mogla – barem ne bez ogromnih poteškoća – predočiti drugi oblik tako temeljnog fenomena kakav je sam prostor.

     Naravno, iz tog ispravnog uvida nikako ne sledi docniji Kantov pogrešan zaključak da je zbog toga ljudskog saznajnog ograničenja euklidska geometrija a priori povlašćena u samoj ontologiji svemira!

     Kako onda predočiti tako suštinski pojam zakrivljenog prostora koji, od Ajnštajna naovamo, predstavlja neophodan sastojak naše fizičke slike sveta? Jedan od najuspešnijih načina, i heuristički i pedagoški jeste – obratiti se Esheru.

      Kako se njegov rad razvijao, on je nalazio veliku inspiraciju u matematičkim idejama o kojima je čitao, često radeći direktno iz struktura u ravni i projektivne geometrije, pa sve do najuspelijeg zahvata “suštine” neeuklidske geometrije kakav se primećuje, na primer, u “Kružnom limitu IV” (Slika iznad – obratiti pažnju da se figure pri kretanju ka obodu umanjuju do infinitezimalnih razmera, a ponavljaju se u idealnom slučaju beskonačno mnogo puta!).

izvor 

9. Granica kruga IV.

STEPHEN HAWKING O ESCHERU

      Pre par godina Stephen Hawkin i njegove kolege pokazali su da bi svemir mogao imati vrlo neobičnu geometriju nalik na grafike  Eschera. Hawkingov tim je tvrdio da je njihova studija mnogo više od mentalne igre – da omogućuje ostvarenje geometrijskih zahteva što ih postavlja teorija struna, jedna od hipoteza  kandidata za teoriju svega.

      " Njihove kalkulacije su se temeljile na matematičkom obratu koji se do nedavno smatrao nemogućim. Geometrija o kojoj je ovde reč nalikuje tzv. teselacijama, odnosno aranžmanima u kojima se geometrijski likovi izmenjuju i ponavljaju kao na slici br. 9 nazvanoj Granica kruga IV. Mada su ove slike ravne, one su zapravo projekcije alternativne geometrije hiperboličnog svemira, baš kao što su ravne geografske mape Zemlje. ( Na primer, u gornjoj projekciji izgleda da se šišmiši prema rubovima kruga eksponencijalno smanjuju, a u u hiperboličnom svemiru zapravo su svi iste veličine. Ova distorzija nastaje jer hiperbolični svemir ne može ležati u ravnini, već izgleda kao izvijeni brežuljkasti pejsaž).

      No prema svim poznatim informacijama naš svemir ne izgleda tako. Merenja kosmičkog mikrovalnog zračenja - jeke velikog praska te udaljenosti do zvezda supernova pokazala su da je naš svemir ravan, a ne iskrivljen. Osim toga, on se, zahvaljujući misterioznoj tamnoj energiji, ubrzano širi. Mi ne znamo šta je ona niti odakle je došla, međutim, matematički jezik opšte teorije relativnosti omogućuje nam da opišemo ovo ubrzano širenje - potrebno je samo u njene jednačinee ubaciti tzv. kosmološku konstantu s pozitivnim predznakom. Do sada je činjenica da živimo u svemiru koji se širi podrazumevala to da je njegova kosmološka konstanta pozitivna.

    Poznato je već duže da u celoj ovoj priči postoje neki ozbiljni problemi. Opšta relativnost pokriva aspekt svemira koji se širi, ali ne može opisati veliki prasak. Ona također ne uspeva ujediniti gravitaciju, koja deluje u makro razjerama, s kvantnom mehanikom koja funkcioniše u mikro razmerama.

    Teorija struna, s druge strane, nudi prekrasno celovitu sliku istorije svemira i povezuje gravitaciju s kvantnom mehanikom. Međutim, njoj najviše odgovara svemir koji je negativno zakrivljen, zaobljen poput sedla, s geometrijom nalik na Escherovu i sa negativnom kosmološkom konstantom.

 Ovo razilaženje stvorilo je velik problem fizičarima – s jedne strane je svemir koji funkcioniše, ali mu nedostaje potpuna teorija, a s druge je potpuna teorija koja ne opisuje stvaran svemir.

koncentrični krugovi 

      No Hawking, Thomas Hertog iz Instituta za teorijsku fiziku na Katoličkom Univerzitetuu Leuvenu u Belgiji i James Hartle s Kalifornijskog Univerzitetau Santa Barbari veruju da su pronašli rešenje koje bi moglo premostiti ovaj jaz. Naime, trojac je otkrio model svemira koji se ubrzano širi uprkos tome što ima negativnu kosmološku konstantu. To bi pak moglo značiti da bi teorija struna ipak mogla opisivati svemir koji vidimo.

       Svoje modele utemeljili su na ideji da bi uz pomoć kvantne slike kosmologije mogli zaobići nedostatke opšte relativnosti. U kvantnoj mehanici jedna jednačina tzv. valna funkcija opisuje sva moguća stanja u kojima se kvantni objekt može nalaziti i svakome od njih pripisuje odgovarajuću verovatnost. Hawking i Hartle krenuli su u potragu za sličnom valnom funkcijom koja bi opisivala sve moguće svemire nastale u velikom prasku, uključujući i one u kojima Sunčev sistem nikada ne bi nastao ili bi se život razvio na drukčiji način. U proteklih 30 godina uvek su operisali s pozitivnom konstantom, jer se smatralo da je ona neizbežna. Međutim, rezultati nisu bili elegantni, naprotiv. Naime, teorija struna jednostavno se ne slaže dobro s pozitivnom konstantom. Puno bolje odgovara joj escherovska geometrija.

Uspešan obrat

U svom novom radu trojac je konačno odustao i napravio obrat - stvorio je celi niz modela svemira iz valnih funkcija s negativnom kozmološkom konstantom, a pokazalo se da se neki od njih ubrzano šire, baš poput našega.

     'Pokazalo se da kvantna stanja automatski uključuju obe vrste svemira', rekao je Hertog i dodao da su uz određene valne funkcije takvi svemiri čak najverovatniji ishod.

       No postavlja se pitanje šta s našim posmatranjima koja pokazuju da je svemir ravan? Tim smatra da na sličan način na koji su Newtonovi zakoni mehanike za tela koja susrećemo u našoj svakodnevnoj realnosti dobra aproksimacija Einsteinove teorije relativnosti, svemir nama možda izgleda ravan dok se zapravo temelji na escherovskoj geometriji.

Hertog priznaje da njihov rad još nije gotov, međutim, veruje da će negativna kosmološka konstanta na kraju dovesti do potpunog opisa svemira kakav vidimo. 'To je novi put koji se trenutačno otvara, a ne nešto što već imamo', istaknuo je.

izvor

                                                   
ESCHEROVA GEOMETRIJA

      Esher je koristio matematiku u stvaranju svojih crteža i grafika iako nije imao neko posebno matematičko obrazovanje.

       Prvi dodir sa matematikom imao je kada mu je njegov brat Berden (jedan od četiri starija brata), profesor geologije na univerzitetu u Lejdenu, prepoznavši vezu između njegovih drvoreza i kristalografije, poslao spisak naučnih radova koji bi mu mogli biti od pomoći.

       Prekretnica u njegovom stvaralaštvu desila se 1954. godine sa dve samostalne izložbe. Jedna je postavljena u Stedelijk Museumu u Amsterdamu prilikom otvaranja  Internacionalne matematičke konferencije kojom su matematičari bili oduševljeni, a druga je postavljena u Washingtonu u Whyste Gallery  na kojoj je nagrađen ovacija. Nakon ovih izložbi krenuo je njegov internacionalni uspon.

      Ešer je postao predmet istraživanja matematičara, informatičara, gradičara, a zbog popločavanja ravnine interesantan je i kristalografiji.

     U predgovoru katalogu prve izložbe holandski matematičar N.G. de Bruijn napisao je :

" Nisu samo geometrijski motivi ti koji će oduševiti matematičare. Mođda je znaćajnija izvesna razigranost koja se javlja svugde u matematici I koja za mnoge matematičare I čini draž njihovog područja rada. Učesnike Kongresa zasigurno će razveseliti prepoznavanje svojih misli iskazanih na jedan drugi način od onoga na koji su navikli. "

    Sam Ešer je, prema svedočanstvu jednog od najvećih geometričara XX veka I velikog poštovaoca Ešera, Kanađanina Coxatera, rekao :

" Time što su mi oseti otvoreni  prema zagonetkama koje nas okružuju, I time što razmišljam o osetima i analiziram ih, približavam se području matematike. Iako mi nedostaje naučno obrazovanje i znanje,, često se osećam srodniji matematičarima nego kolegama iz struke. "

     Na Eshera je veliki uticaj imala i poseta Alhambra palači u Španiji, koja je bila po njegovim rečima najbogatiji izvor inspiracije koji je ikad imao. Bio je fasciniran a pomalo i opsednut particionisanjem ravni na podudarne delove, posebno nakon druge posete Alhambri (1936).

Pločice Alhambre

 

       Proučavajući radove George Polya (1887-1985)  o grupama simetrija u ravni, iako nije razumeo pojam grupa, shvatio je 17 grupa simetrija koje su tamo opisane. U periodu od 1937. do 1941. Nacrtao je 43 crteža u boji sa raznim tipovima simetrija. Vršio je sistematska matematička istraživanja koristeći notaciju koju je sam smislio. Njegove sveske su dokaz da je bio matematičar istraživač najvišeg reda; razvio je vlastiti sistem kategorizacije koji pokriva sve moguće kombinacije oblika, boja i tipova simetrija. Vršio je istraživanja na polju kristalografije, koja je tada bila neistražena, godinama pre nego ijedan profesionalni matematičar.

      Osim toga je u svojim brojnim grafičkim radovima vršio particionisanje ravni na delove koji su slični i beskonačno se povećavaju ili smanjuju. U nekim radovima je predstavljao i razne trodimenzionalne geometrijske objekte (lopte, kocke, stubove, pravilne poliedre itd.), primenjujući ideju particionisanja ravni na podudarne delove na neke od njih. U njegovim radovima su predstavljeni razni matematički pojmovi (razne krive, čvorovi, itd.). Bio je fasciniran topologijom što je izrazio u grafikama sa Mebijusovom trakom.

       Važno je spomenuti Esherovo prijateljstvo sa kanadskim matematičarom Kokseterom (Harold Scott MacDonald „Donald“ Coxeter, 1927-2003). Nakon što su se upoznali 1954. postali su doživotni prijatelji. Esher je čitao njegove radove iz hiperboličke geometrije. Iako nije razumeo teoriju, mogao je da shvati pravila u vezi hiperboličkih mozaika posmatrajući samo dijagrame na papiru. Kokseter je objavio jedan rad u kojem dokazuje da je Esher dostigao savršenstvo u jednom od svojih bakropisa, ne pogrešivši ni milimetar. Ovo pokazuje Esherovu neverovatnu sposobnost da kombinuje svoje umetničke veštine i tehnike koje je naučio od drugih da stvori matematički savršen umetnički dizajn.        Uspevao je da u dvodimenzionalnoj ravni predstavi hiperbolički i trodimenzionalni proctor.

       U svojim kasnijim godinama mnogo je naučio od britanskog matematičara Rogera Penrosea (Sir Roger Penrose, 1931), razradio je i umetnički prikazao Penrosove nemoguće predmete u svojim radovima.

                                               GALERIJA EŠEROVIH RADOVA

3D ANIMACIJE INSPIRISANE EŠEROM



INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.


Snakes from Cristóbal Vila on Vimeo.